附录（1/2）
若干技术性的注释
1．经验内容
我们现在得出了如下所述的经验内容的观念。我们说a的逻辑内容(或推论类)是指从a推出的所有陈述的类。因此，我们可以暂时先考虑把从。推出的所有观察陈述(或“基本陈述”，参见下面)的类叫做a的经验内容。
但是，这个尝试性的观念现在不起作用。因为，我们最感兴趣的是一个解释性的一般理论的经验内容；但是，单从这样一个理论是推不出观察陈述的。(从“一切乌鸦都是黑的”我们不可能推出任何像“现在这里有一只黑乌鸦”这样的观察陈述；尽管我们确实能推出“现在这里没有白乌鸦”。)
正因为这样，所以在定义经验内容时，我转而求助于这样的观念：一个理论告诉我们的观察事实越多，它禁止的这种事实也越多——就是说，和它不相容的可观察事实越多。[2]于是，我们就可以说，一个理论的经验内容是由那些和该理论相矛盾的观察陈述或基本陈述的类决定的(并且等同于这个类)。
和理论t相矛盾的一个基本陈述可以称做t的一个“潜在证伪者”。如果利用这个术语，我们便可以说，t的经验内容由它的潜在证伪者的类构成。
“经验内容”这个名字可正当地用于这个类，其理由可从以下事实看出：每当两个经验的(即非形而上学的)理论t1和t2的经验内容的量度ECt(t1)和ECt(t2)的关系使得
(1)
ECt(t1) ≤ECt(t2)
成立时，它们的逻辑内容的量度的关系也将总是使得
(2)
Ct(t1)≤Ct(t2)
成立；对于内容相等的情形，类似的关系亦成立。
现在转到“基本陈述”这个概念上来，我现在想改进对我在《科学发现的逻辑》(尤见第28和29节)中所称的“基本陈述”的讨论。为了命名一类陈述(真的或假的)，我曾引入了“基本陈述”这个术语，在我们讨论中，可假定这类陈述具有无可置疑的经验性质。“无可置疑的”，这里是指，我们准备按照我们可能碰到的最挑剔、最讲究精确的经验主义者的要求来限制基本陈述的类，假如这些要求在精确性上并不比我们自己的(客观主义的)最低要求更低的话。这些要求是：(1)基本陈述陈述了(正确地或错误地)在某个足够狭窄的时空区域里的可观察事实(现象)的存在。(2)一个基本陈述的否定一般将不是基本的。对一些简单的基本陈述(例如：“在我书房里现在有一只成年的丹麦种大狗”)的例子，可以认为它们的否定是基本的；而大多数基本陈述(例如：“我书房里现在有一只蚊子”)的例子，它们的否定由于一些显而易见的理由而不能认为是基本的。(3)当(且仅当)两个基本陈述的合取在逻辑上一致时，这合取才总是基本的。(因此，每当一个陈述和它的否定都是基本的时候，它们的合取将总是非基本的。)我们可以从一类在其他场合可接受的基本陈述中挑出那些非复合陈述(“相对原子”陈述；试比较《科学发现的逻辑》第38节)。于是，如果我们愿意的话，我们就可以从这些陈述出发，并像下述那样构成一类新的基本陈述。(i)我们不承认相对原子基本陈述的任何否定是基本的。(ii)就基本陈述的一切合取都是一致的而言，我们承认它们都是基本的。(直觉地看，一致性似乎是一个必要的要求，采纳它便大大简化了继起理论的各种表述，但是，只要我们从证伪者类中排除掉不一致的陈述，我们就可以不管这个要求。)(iii)我们不承认任何复合基本陈述的否定，不承认基本陈述的合取以外的任何复合。
最后这种排斥可能看起来稍嫌严格：但是，我们的目的不是承认一切经验陈述都是基本的——甚至一切关于可观察事实的陈述也不都是基本的：我并不在乎把像“在我的书房里要么有一条成年的丹麦种大狗，要么有一匹成年的设德兰矮种马”这种复合观察陈述排斥出基本陈述的类，虽然不想把它们排除出经验陈述的类。因为，虽则我们旨在保证一切基本陈述都显然是经验的，我们并不打算保证相反的情形——一切明显经验的陈述(甚或一切观察陈述)都是“基本的”。
把基本陈述的否定(或几乎一切基本陈述的否定)排除出基本陈述的类以及把基本陈述的析取和条件句排除出这个类的目的是：我们并不希望承认像“如果这房间里有一只乌鸦，那么它是黑的”或者“如果这房间里有一只蚊子，那么它是一只疟蚊”这样的条件陈述。这些陈述无疑是经验陈述；但是从这里阐述的知识论观点来看，它们不具有理论的检验陈述的性质，而是具有例示陈述的性质，因此，它们意义不大，也不怎么“基本”；这里阐释的知识论认为，一切理论的经验基础都有待检验；或者换句话说，都有待尝试加以反驳。
这里可能值得提一下，“基本陈述”这个术语里的“基本的”这个词似乎已把我的一些读者引入了歧途。我使用这个术语有如下所述的一段历史。
在使用“基本的”和“基本陈述”这些术语以前，我利用了“经验基础”这个术语，用它意指所有那些可以起检验理论的作用(即作为潜在证伪者)的陈述的类。我引入“经验基础”这个术语，部分地是为了从反面强调我的论点：我们理论的经验基础远不是坚实的；应把它比作沼泽而不是硬地。[3]
经验主义者通常相信，经验基础由绝对“给定的”知觉或观察“材料”构成，科学可以建立在这些“材料”之上，犹如建立在岩石上一般。相反，我指出，表面的经验“材料”总是根据理论作的解释，所以它们总受到一切理论的假设性质或猜测性质的影响。
我们称做“知觉”的那些经验是一些解释——我认为这些解释是指对我们在“感觉”时发现自己置身于其中的那个总的情境的解释——这种见解当归于康德。这常常被笨拙地表述为：知觉是对通过感官给予我们的东西的解释；从这种表述中产生了一个信念，认为必定存在一些终极的“材料”，一些未经解释(因为解释必须是对某种东西作的，还因为不可能无穷地倒退)的终极材料。但是，这个论证没有考虑到(如康德所提出的那样)解释过程至少部分地是生理学的，因此，永远不会存在我们经验到的未作解释的“材料”：这些未作解释的“材料”的存在因此是一种理论，而不是一个经验事实，至少不是一种终极的或“基本的”事实。
可见，不存在未作解释的经验基础；构成经验基础的检验陈述不可能是表达未作解释的“材料”的陈述(因为不存在这样的材料)，而只是陈述关于我们物理环境的可观察的简单事实的陈述。当然，它们是根据理论解释的事实，可以说它们是浸泡在理论之中。
就如我在《科学发现的逻辑》(第25节结尾)中指出的那样，陈述“这里有一杯水”不可能由任何观察经验来证实。理由是出现在这个陈述中的全称词项(“杯子”、“水”)是倾向性的：它们“标示呈现某种类规律变化的物体”。[4]
这里就“杯子”和“水”所说的也适用于一切描述性的全称词项。
经验主义者如此钟爱的那只著名的受责备的猫(我也觉得猫惹人喜欢)是一个比杯子和水理论性更强的实体。一切词项都是理论词项，尽管一些比另一些理论性更强。(比起“已碎的”来，“可碎的”理论性或倾向性都更高，但前者也是理论性或倾向性的，就如前面第三章结尾处举例提到的那样。)
对这个问题持这样的观点，我们就有可能把含有高度理论性的词项的陈述纳入我们的“经验基础”，假如这些陈述是关于可观察事实的单称陈述的话；例如，像“这里有一只读数为一百四十五的电位计”或“这只钟的读数是三点三十分”这样的陈述。这仪器事实上是一个电位计这一点，不可能被最终确立或证实——就像我们面前盛有水的那个杯子不能最终确立或证实一样。不过，它是一个可检验的假说，我们在任何物理实验室里都可以很容易地检验它。
因此，每个陈述(或“基本陈述”)本质上仍然是猜想性的；但是，它是一个很容易检验的猜想。这些检验本身又包含了新的猜想性的和可检验的陈述，如此等等，以至无穷；如果我们试图用检验来确立什么东西，那么我们就会陷于无穷倒退。但是，像我在《科学发现的逻辑》中所解释的那样(特别是第29节)，我们不会用这个程序确立什么东西：我们不想“证明”对什么东西的“验收”，我们仅仅批判地检验我们的理论，以便看看我们能否找到一个它的反例。
因此，我们的“基本陈述”决不是在“终极”的意义上成为“基本的”；它们只是在它们属于用来检验我们理论的那类陈述的意义上，才是“基本的”。
2．概率和检验的严格性
我们的检验的严格性能够客观地加以比较；如果我们愿意的话，我们也可对它们的严格性规定一个尺度。
在这个限定以及本附录后面的讨论中，我将在概率演算的意义上利用概率的思想；或者更确切地说，利用相对概率的思想：
p(x,y)，
它读做“对于给定的y，x的概率”。绝对概率的思想：
p(x)，
它读做“x的绝对概率”，这里将用相对概率来加以定义，它的显定义是
D(AP)
p(a)=p(a,b)<—>(c)(Ed)(p(b，b)=p(c，d)—>p(a,b)=p(a,c))。
这里“(a)”是“对于每一个a”的缩写；“(Ea)”是“存在着一个a”的缩写；“<—>”是“当且仅当”的缩写；“……—>……”是“如果……那么……”的缩写。(后面我们还要用“&”作为“和”的缩写。)为了直观地解释D(AP)，我们可以选择c的否定作为d。
相对概率p(x、y)的思想这里像在D(AP)中一样，将主要用作定义者。它本身又可用一个公理系统隐含地定义，就像在我的《科学发现的逻辑》(新的附录*Ⅳ和*V)中一样。那里给出的六条公理可以简并为三条，其中的一条A是一条存在公理，另外两条B和C是(“创造性的”[5])定义形式的公理：
A
(Ea)(Eb)p(a,b)≠P(b,b)
就是说，至少存在二种不同的概率。
B
((d)p(ab,d)=p(c,d))<—>(e)(f)(p(a,b)≤p(c,d)&p(a,e)≥p(c,e)≤p(b,c)&((p(b,e)≤p(f,e)&p(b，f)≥p(f，f)≤p(e,f))—>p(a,f)p(b,e)=p(c,e)))
公理B用p(x,y)定义乘积ab(读做“a和b”)。
C
p(-a,b)=p(b,b)-p(a,b)<—>(Ec)p(b,b)≠p(c,b)
公理C用p(x,y)定义补-a(读做“非a”)。
对这三条公理，我们还可以添加三条(非创造性的或普通的)定义：上面用D(AP)定义的绝对概率p(a)的定义；布尔恒等式a=b的定义；和相对于b的n项的独立的定义。
恒等式定义如下：
D(=)
a=b<—>(c)p(a,c)=p(b,c)
我们认为如果所谓(相对于b的)“特殊乘法定理”适用于An集的2n-1个非空子集中的每一项，那么一个n个元素的集成n项的序列an1，…，an，是“n项独立的(相对于b)”。令ai，…，am为任何这种子集(或子序列)的元素；那么，如果An是n项独立的，则我们有
(m)
p(ai…am，b)=p(ai,b)·p(ai+1,b)…p(am,b)
式中右边是m-i概率的乘积。在这些2n-1方程中，对应于An的2n-1非空子集，将存在n个无足轻重的方程(对于单元子集)，因为对于m=i,我们的方程(m)退化为
(i)
p(ai,b)=p(ai，b)；
这就是说，每一单个元素不过是1项独立的(相对于每一个b)。因此，An的n项独立乃由2n-n-1个重要的方程定义。[6]
这个运用2n-n-1个方程的有点笨拙的定义可加以简化，为此引入“Indpn(a1，…，an；b)”的一个递归定义，它读做“a1，…，an是n项独立的(相对于b)”：
D(Indp) (i)
Indp1(a1;b)，对于我们可能选择的任意的元素a1和b。
(ii)Indpn+1(a1，…，an+1；b)，当且仅当
(a)Indpn(a1，…an；b)；
(b)Indpn(a1，…，an；(an+1b))；
(c)p(ai,(an+1b))=p(ai,b)，对于每一个元素ai(1≤i≤n)。
这里我们可以用
(b’) p(an+1，aj…amb)=p(an+l，b，)其中aj…am(对于j≤m≤n)是An的任何子集的元素的合取，取代(b)和(c)。
这些定义可以加强：对于一个无穷的理论，在最后的括号前，例如在(c)中插入一个仅仅在假设P(ai,b)≠0之下从(c)推出的方程
“&p(an+1，ai,b)=p(an+1,b)”，可能是合适的。
现在，我们可以转到检验的严格性的定义上了。
设h是有待检验的假说；设e是检验陈述(证据)，b是“背景知识”，也即我们在检验该理论时认为(暂时地)没有问题的那一切东西。(b也可以包含初始条件性的陈述。)让我们先假定，e是h和b的一个逻辑推论(这个假定后面将要放宽)，这样p(e,hb)=1。例如,e可以是从牛顿的理论h和我们对火星过去位置的知识(构成b之一部分)推出的一个关于火星的一个预言位置的陈述。
于是，我们可以说，如果我们把e作为h的一个检验，那么，在只给出b(没有h)时，e越不可几，解释为支持证据的这检验的严格性就越高；也就是说，对于给定的b的e的概率p(e，b)就越小。
定义检验e对于给定b的严格性S(e，b)，主要有两种方法[7]。两者都从内容度量Ct出发。第一种方法把概率的补作为内容的度量Ct：
(1) Ct(a)=1-p(a)；
第二种方法把概率的倒数作为内容的度量：
(2) Ct’(a)=1/p(a)
第一种方法提出了一个像S(e,b)=1-p(e,b)这样的定义，或者更好地表达为
(3) S(e,b)=(1-p(e,b))/(1+p(e,b))
就是说，它建议我们用Ct度量检验的严格性，或者更好地用“正规化的”Ct(利用1/(1+p(e,b))作为一个正规化因子)来度量它。第二种方法提议我们只要用检验的内容Ct’，来度量它的严格性：
(4) S’(e,b)=Ct’(a,b)=1/p(e,b)。
现在我们来推广这些定义，为此我们放宽e应逻辑地从h和b推出这个要求，甚或放宽下列更弱的要求：
p(e，hb)=1就是说我们现在假定存在某种概率，p(e,hb)，它可能等于1，也可能不等于1。
这意味着，为了得到(3)和(4)的一个推广，我们在这两个公式中都用更一般的项“p(e,hb)”代替“1”。因此，我们得出了下面两个解释为理论h的支持证据的(对于给定的背景知识b)检验e的严格性的推广定义。
(5) S(e,h,b)=(p(e,hb)-p(e,b))/(p(e,hb)+P(e,b))；
(6) S’(e,h,b)=p(e,hb)/P(e,b)。
这些就是我们对作为支持证据的检验的严格性的度量。这两种度量之间没有选择余地，因为从一种到另一种的转移是保序的[8]；就是说，两者都是拓扑不变的。(如果我们用Ct’和S’的对数[9]例如log2Ct”和log2S’代替Ct’和S’——以使这些度量成为加性的，情形同样如此。)
在定义了我们的检验的严格性的度量后，现在我们可以用同样的方法来定义理论h在b出现的条件下关于e的解释力E(h,e,b)(而且如果我们愿意的话，也可以类似方式定义h的确证度[10])：
(7) E(h,e,b)=S(e,h,b)；
(8) E’(h,e,b)=S’(e,h,b)。
这些定义表明，对理论h的一次检验e越严格，理论h(关于某个被解释者e)的解释力就越大。
现在显而易见，一个理论的解释力的最大程度或者它的检验的严格性的最大程度乃取决于该理论的(信息的或经验的)内容。
因此，知识的进步或潜在增长的标准将是我们理论的信息内容或经验内容的增加；同时，是它们可检验性的增加，也是它们有关(已知的和未知的)现象的解释力的增加。
3．逼真性
这一节将进一步讨论和发展第十章第x和xi节的思想(这里假定读者已经读过它们)。
在塔尔斯基的真理理论中，“真理”是陈述的一个性质。我们可以用“T”标示某种人工的语言(对象语言；参见下面第5节)的所有真陈述的类。我们可以用
a∈T
表达(某种元语言的)断定：陈述a是真陈述类的一个成员，换句话说，a是真的。
我们在这里的首要任务是定义一个陈述。的真内容的观念，我们用“CtT(a)”标示它。这定义必须使得一个假陈述和一个真陈述都有真内容。
如果a是真的，那么a的真内容CtT(a)(或更确切地说，它的度量)将仅仅是。的内容的度量；也即
(1) a ∈
T—> CtT(a)=Ct(a)式中我们可以像第2节的(1)一样，建立
(2) Ct(a)=1-p(a)。
假如a是假的，则正如已经提到过的那样，它仍然可以有真内容。因为，假定今天是星期一，那么陈述“今天是星期二”将是假的。但是，这个假陈述将蕴含一些真陈述，例如“今天不是星期三”或“今天或者是星期一或者是星期二”；它所蕴含的所有真陈述的类将是它的(逻辑的)真内容。换句话说，每个假陈述都蕴含一个真陈述类这个事实是把一个真内容赋予每个假陈述的基础。
所以，我们将把陈述a的(逻辑的)真内容定义为既属于G的(逻辑的)内容又属于T的那些陈述的类；因而我们也解释了它的真内容的度量CtT(a)。
为了在理论Ct或p(这里Ct(a)=1-p(a))的内部给CtT(a)观念下定义，我们可以应用各种方法。
最简单的方法或许是同意，在像p(a)或p(a,b)这样的表达式内，字母“a”、“b”等等不仅可以是陈述的名字(因而也是，例如，有限个陈述的合取的名字)，而且也可以是陈述的类的名称(或者属于这些类的所有陈述的有限或无限的合取的名字)，因此，我们也就同意用符号“t”[11](在像p(t)、P(a,t)或P(t,b)这样的语境之中)代替“T”，并把它看作是所考虑的语言系统(或陈述系统)的一切真陈述的(有限或无限的)合取。换句话说，我们把符号“t”用作变项“a”、“b”等等可能取的常值之一，并且同意以下述方式使用它：
(3) t的推论类或逻辑内容是T。
然后我们定义一个新符号“aT”如下：
(4) aT「”标示“蕴含”即“从……推出……”」
(5) a 「aT从而还得出
(6) p(aaT)=p(a)，
(7) p(a,aT)p(aT)=p(aaT)=p(a)。我们还得出
(8) aT「x，当且仅当a「x&x
∈
T，式中“a「b”还是读做“b可从a推出(或者由a蕴含)”。因此，(8)的意思是：aT是a所蕴含的逻辑上最强的真陈述(或演绎系统)。因此，我们现在可以把a的真内容定义为aT的真内容，而它的度量CtT(a)现在可以定义如下：
(9) CtT(a)=Ct(aT)=1-p(aT)
从(9)和(5)得出
(10) CtT(a)≤Ct(a)和
(11) 如果a
∈T，那么aTT(a)=Ct(a)
为了定义“Vs(a)”——即a的逼真性(的度量)——我们不仅需要a的真内容，而且还需要它的假内容——或者它的度量——因为我们希望把vs(a)定义为a的真内容和假内容之差异这类东西。但是，a的假内容或它的某种替代物的定义不是很简单的，因为存在这样的基本事实：了可以说是构成了一个推论类或内容(t的内容，参见上面的(3))，而我们系统的所有假陈述的类F却不是推论类。因为，虽则T包含T的一切逻辑推论——因为任何真东西的逻辑推论必定也是真的——但F并不包含所有它的逻辑推论：从一个真陈述只能推出真陈述，而从一个假陈述不仅能推出假陈述，而且也总能推出真陈述。
因此，按类似于“真内容”的方式来定义“假内容”，看来是行不通的。
为了得出a的假内容的度量CtF
(a)的一个令人满意的定义，规定一些必需的定理是有益的：
(i) a ∈T—>CtF(a)=0
(ii) a∈F—>CtF(a)≤Ct(a)
(iii) 0≤CtF(a)≤Ct(a)≤1
(iv) CtF(contrad)=Ct(contrad)=1
式中“contrad"是自相矛盾的陈述的名字。所需要的定理(iv)应该和定理
CtT(tautol)=Ct(tautol)=0
加以比较和对照。式中“tautol"是一个重言陈述的名字。
(v) CtT(a)=0—>CtF(a)=Ct(a)
(vi) CtF(a)=0—>CtT(a)=Ct(a)
(vii) CtT(a)+CtF(a)≥Ct(a)(如果取“a”为，例如“contrad"，则可看出这里用“≥”而不是“=”的理由；因为在这种情况下，我们根据(iv)和CtT(a)=Ct(t)得到CtF(a)=Ct(a)=1，但是，Ct(t)是最大真内容，它通常区别于零。在一个无限域里，Ct(t)=1-p(t)通常将等于1。)
(Viii) CtF和CtT在下述意义上关于Ct是对称的：存在两种函数，f1和f2，以致
(a) CtT(a)+CtF(a)=Ct(a)+f1(CtT
(a)，CtF(a)) =Ct(a)+f1(CtF (a)，CtT
(a))
就是说，f1关于CtT和CtF是对称的；因此，结果我们便得到
(b)
CtT (a)=f2(Ct(a)，CtF(a))
(c) CtF(a)=f2(Ct(a)，CtT
(a))。
在按这些方式定义“CtF
(a)”的各种可能性中，以下定义是可取的，这里就采用这个定义：(12)
CtF (a)=1-p(a,aT)=Ct(a, aT)这个定义满足我们的需要。对于所要求的定理(i)和(ii)来说，这是显而易见的；如果我们考虑以下定理，那么这对于其他所要求的定理来说，也变得很清楚：
(13) CtF
(a)p(aT)=p(aT)-(p(a, aT)p(aT))
=p(aT)-p(a)
参见(7)
T (a)
因此
(14) CtT
(a)=Ct(a)-( CtF (a)p(aT))≤Ct(a)。
(15) CtF
(a)=(Ct(a)- CtT (a))/P(aT)=(Ct(a)- CtT
(a))/(1- CtT (a))
1．经验内容
我们现在得出了如下所述的经验内容的观念。我们说a的逻辑内容(或推论类)是指从a推出的所有陈述的类。因此，我们可以暂时先考虑把从。推出的所有观察陈述(或“基本陈述”，参见下面)的类叫做a的经验内容。
但是，这个尝试性的观念现在不起作用。因为，我们最感兴趣的是一个解释性的一般理论的经验内容；但是，单从这样一个理论是推不出观察陈述的。(从“一切乌鸦都是黑的”我们不可能推出任何像“现在这里有一只黑乌鸦”这样的观察陈述；尽管我们确实能推出“现在这里没有白乌鸦”。)
正因为这样，所以在定义经验内容时，我转而求助于这样的观念：一个理论告诉我们的观察事实越多，它禁止的这种事实也越多——就是说，和它不相容的可观察事实越多。[2]于是，我们就可以说，一个理论的经验内容是由那些和该理论相矛盾的观察陈述或基本陈述的类决定的(并且等同于这个类)。
和理论t相矛盾的一个基本陈述可以称做t的一个“潜在证伪者”。如果利用这个术语，我们便可以说，t的经验内容由它的潜在证伪者的类构成。
“经验内容”这个名字可正当地用于这个类，其理由可从以下事实看出：每当两个经验的(即非形而上学的)理论t1和t2的经验内容的量度ECt(t1)和ECt(t2)的关系使得
(1)
ECt(t1) ≤ECt(t2)
成立时，它们的逻辑内容的量度的关系也将总是使得
(2)
Ct(t1)≤Ct(t2)
成立；对于内容相等的情形，类似的关系亦成立。
现在转到“基本陈述”这个概念上来，我现在想改进对我在《科学发现的逻辑》(尤见第28和29节)中所称的“基本陈述”的讨论。为了命名一类陈述(真的或假的)，我曾引入了“基本陈述”这个术语，在我们讨论中，可假定这类陈述具有无可置疑的经验性质。“无可置疑的”，这里是指，我们准备按照我们可能碰到的最挑剔、最讲究精确的经验主义者的要求来限制基本陈述的类，假如这些要求在精确性上并不比我们自己的(客观主义的)最低要求更低的话。这些要求是：(1)基本陈述陈述了(正确地或错误地)在某个足够狭窄的时空区域里的可观察事实(现象)的存在。(2)一个基本陈述的否定一般将不是基本的。对一些简单的基本陈述(例如：“在我书房里现在有一只成年的丹麦种大狗”)的例子，可以认为它们的否定是基本的；而大多数基本陈述(例如：“我书房里现在有一只蚊子”)的例子，它们的否定由于一些显而易见的理由而不能认为是基本的。(3)当(且仅当)两个基本陈述的合取在逻辑上一致时，这合取才总是基本的。(因此，每当一个陈述和它的否定都是基本的时候，它们的合取将总是非基本的。)我们可以从一类在其他场合可接受的基本陈述中挑出那些非复合陈述(“相对原子”陈述；试比较《科学发现的逻辑》第38节)。于是，如果我们愿意的话，我们就可以从这些陈述出发，并像下述那样构成一类新的基本陈述。(i)我们不承认相对原子基本陈述的任何否定是基本的。(ii)就基本陈述的一切合取都是一致的而言，我们承认它们都是基本的。(直觉地看，一致性似乎是一个必要的要求，采纳它便大大简化了继起理论的各种表述，但是，只要我们从证伪者类中排除掉不一致的陈述，我们就可以不管这个要求。)(iii)我们不承认任何复合基本陈述的否定，不承认基本陈述的合取以外的任何复合。
最后这种排斥可能看起来稍嫌严格：但是，我们的目的不是承认一切经验陈述都是基本的——甚至一切关于可观察事实的陈述也不都是基本的：我并不在乎把像“在我的书房里要么有一条成年的丹麦种大狗，要么有一匹成年的设德兰矮种马”这种复合观察陈述排斥出基本陈述的类，虽然不想把它们排除出经验陈述的类。因为，虽则我们旨在保证一切基本陈述都显然是经验的，我们并不打算保证相反的情形——一切明显经验的陈述(甚或一切观察陈述)都是“基本的”。
把基本陈述的否定(或几乎一切基本陈述的否定)排除出基本陈述的类以及把基本陈述的析取和条件句排除出这个类的目的是：我们并不希望承认像“如果这房间里有一只乌鸦，那么它是黑的”或者“如果这房间里有一只蚊子，那么它是一只疟蚊”这样的条件陈述。这些陈述无疑是经验陈述；但是从这里阐述的知识论观点来看，它们不具有理论的检验陈述的性质，而是具有例示陈述的性质，因此，它们意义不大，也不怎么“基本”；这里阐释的知识论认为，一切理论的经验基础都有待检验；或者换句话说，都有待尝试加以反驳。
这里可能值得提一下，“基本陈述”这个术语里的“基本的”这个词似乎已把我的一些读者引入了歧途。我使用这个术语有如下所述的一段历史。
在使用“基本的”和“基本陈述”这些术语以前，我利用了“经验基础”这个术语，用它意指所有那些可以起检验理论的作用(即作为潜在证伪者)的陈述的类。我引入“经验基础”这个术语，部分地是为了从反面强调我的论点：我们理论的经验基础远不是坚实的；应把它比作沼泽而不是硬地。[3]
经验主义者通常相信，经验基础由绝对“给定的”知觉或观察“材料”构成，科学可以建立在这些“材料”之上，犹如建立在岩石上一般。相反，我指出，表面的经验“材料”总是根据理论作的解释，所以它们总受到一切理论的假设性质或猜测性质的影响。
我们称做“知觉”的那些经验是一些解释——我认为这些解释是指对我们在“感觉”时发现自己置身于其中的那个总的情境的解释——这种见解当归于康德。这常常被笨拙地表述为：知觉是对通过感官给予我们的东西的解释；从这种表述中产生了一个信念，认为必定存在一些终极的“材料”，一些未经解释(因为解释必须是对某种东西作的，还因为不可能无穷地倒退)的终极材料。但是，这个论证没有考虑到(如康德所提出的那样)解释过程至少部分地是生理学的，因此，永远不会存在我们经验到的未作解释的“材料”：这些未作解释的“材料”的存在因此是一种理论，而不是一个经验事实，至少不是一种终极的或“基本的”事实。
可见，不存在未作解释的经验基础；构成经验基础的检验陈述不可能是表达未作解释的“材料”的陈述(因为不存在这样的材料)，而只是陈述关于我们物理环境的可观察的简单事实的陈述。当然，它们是根据理论解释的事实，可以说它们是浸泡在理论之中。
就如我在《科学发现的逻辑》(第25节结尾)中指出的那样，陈述“这里有一杯水”不可能由任何观察经验来证实。理由是出现在这个陈述中的全称词项(“杯子”、“水”)是倾向性的：它们“标示呈现某种类规律变化的物体”。[4]
这里就“杯子”和“水”所说的也适用于一切描述性的全称词项。
经验主义者如此钟爱的那只著名的受责备的猫(我也觉得猫惹人喜欢)是一个比杯子和水理论性更强的实体。一切词项都是理论词项，尽管一些比另一些理论性更强。(比起“已碎的”来，“可碎的”理论性或倾向性都更高，但前者也是理论性或倾向性的，就如前面第三章结尾处举例提到的那样。)
对这个问题持这样的观点，我们就有可能把含有高度理论性的词项的陈述纳入我们的“经验基础”，假如这些陈述是关于可观察事实的单称陈述的话；例如，像“这里有一只读数为一百四十五的电位计”或“这只钟的读数是三点三十分”这样的陈述。这仪器事实上是一个电位计这一点，不可能被最终确立或证实——就像我们面前盛有水的那个杯子不能最终确立或证实一样。不过，它是一个可检验的假说，我们在任何物理实验室里都可以很容易地检验它。
因此，每个陈述(或“基本陈述”)本质上仍然是猜想性的；但是，它是一个很容易检验的猜想。这些检验本身又包含了新的猜想性的和可检验的陈述，如此等等，以至无穷；如果我们试图用检验来确立什么东西，那么我们就会陷于无穷倒退。但是，像我在《科学发现的逻辑》中所解释的那样(特别是第29节)，我们不会用这个程序确立什么东西：我们不想“证明”对什么东西的“验收”，我们仅仅批判地检验我们的理论，以便看看我们能否找到一个它的反例。
因此，我们的“基本陈述”决不是在“终极”的意义上成为“基本的”；它们只是在它们属于用来检验我们理论的那类陈述的意义上，才是“基本的”。
2．概率和检验的严格性
我们的检验的严格性能够客观地加以比较；如果我们愿意的话，我们也可对它们的严格性规定一个尺度。
在这个限定以及本附录后面的讨论中，我将在概率演算的意义上利用概率的思想；或者更确切地说，利用相对概率的思想：
p(x,y)，
它读做“对于给定的y，x的概率”。绝对概率的思想：
p(x)，
它读做“x的绝对概率”，这里将用相对概率来加以定义，它的显定义是
D(AP)
p(a)=p(a,b)<—>(c)(Ed)(p(b，b)=p(c，d)—>p(a,b)=p(a,c))。
这里“(a)”是“对于每一个a”的缩写；“(Ea)”是“存在着一个a”的缩写；“<—>”是“当且仅当”的缩写；“……—>……”是“如果……那么……”的缩写。(后面我们还要用“&”作为“和”的缩写。)为了直观地解释D(AP)，我们可以选择c的否定作为d。
相对概率p(x、y)的思想这里像在D(AP)中一样，将主要用作定义者。它本身又可用一个公理系统隐含地定义，就像在我的《科学发现的逻辑》(新的附录*Ⅳ和*V)中一样。那里给出的六条公理可以简并为三条，其中的一条A是一条存在公理，另外两条B和C是(“创造性的”[5])定义形式的公理：
A
(Ea)(Eb)p(a,b)≠P(b,b)
就是说，至少存在二种不同的概率。
B
((d)p(ab,d)=p(c,d))<—>(e)(f)(p(a,b)≤p(c,d)&p(a,e)≥p(c,e)≤p(b,c)&((p(b,e)≤p(f,e)&p(b，f)≥p(f，f)≤p(e,f))—>p(a,f)p(b,e)=p(c,e)))
公理B用p(x,y)定义乘积ab(读做“a和b”)。
C
p(-a,b)=p(b,b)-p(a,b)<—>(Ec)p(b,b)≠p(c,b)
公理C用p(x,y)定义补-a(读做“非a”)。
对这三条公理，我们还可以添加三条(非创造性的或普通的)定义：上面用D(AP)定义的绝对概率p(a)的定义；布尔恒等式a=b的定义；和相对于b的n项的独立的定义。
恒等式定义如下：
D(=)
a=b<—>(c)p(a,c)=p(b,c)
我们认为如果所谓(相对于b的)“特殊乘法定理”适用于An集的2n-1个非空子集中的每一项，那么一个n个元素的集成n项的序列an1，…，an，是“n项独立的(相对于b)”。令ai，…，am为任何这种子集(或子序列)的元素；那么，如果An是n项独立的，则我们有
(m)
p(ai…am，b)=p(ai,b)·p(ai+1,b)…p(am,b)
式中右边是m-i概率的乘积。在这些2n-1方程中，对应于An的2n-1非空子集，将存在n个无足轻重的方程(对于单元子集)，因为对于m=i,我们的方程(m)退化为
(i)
p(ai,b)=p(ai，b)；
这就是说，每一单个元素不过是1项独立的(相对于每一个b)。因此，An的n项独立乃由2n-n-1个重要的方程定义。[6]
这个运用2n-n-1个方程的有点笨拙的定义可加以简化，为此引入“Indpn(a1，…，an；b)”的一个递归定义，它读做“a1，…，an是n项独立的(相对于b)”：
D(Indp) (i)
Indp1(a1;b)，对于我们可能选择的任意的元素a1和b。
(ii)Indpn+1(a1，…，an+1；b)，当且仅当
(a)Indpn(a1，…an；b)；
(b)Indpn(a1，…，an；(an+1b))；
(c)p(ai,(an+1b))=p(ai,b)，对于每一个元素ai(1≤i≤n)。
这里我们可以用
(b’) p(an+1，aj…amb)=p(an+l，b，)其中aj…am(对于j≤m≤n)是An的任何子集的元素的合取，取代(b)和(c)。
这些定义可以加强：对于一个无穷的理论，在最后的括号前，例如在(c)中插入一个仅仅在假设P(ai,b)≠0之下从(c)推出的方程
“&p(an+1，ai,b)=p(an+1,b)”，可能是合适的。
现在，我们可以转到检验的严格性的定义上了。
设h是有待检验的假说；设e是检验陈述(证据)，b是“背景知识”，也即我们在检验该理论时认为(暂时地)没有问题的那一切东西。(b也可以包含初始条件性的陈述。)让我们先假定，e是h和b的一个逻辑推论(这个假定后面将要放宽)，这样p(e,hb)=1。例如,e可以是从牛顿的理论h和我们对火星过去位置的知识(构成b之一部分)推出的一个关于火星的一个预言位置的陈述。
于是，我们可以说，如果我们把e作为h的一个检验，那么，在只给出b(没有h)时，e越不可几，解释为支持证据的这检验的严格性就越高；也就是说，对于给定的b的e的概率p(e，b)就越小。
定义检验e对于给定b的严格性S(e，b)，主要有两种方法[7]。两者都从内容度量Ct出发。第一种方法把概率的补作为内容的度量Ct：
(1) Ct(a)=1-p(a)；
第二种方法把概率的倒数作为内容的度量：
(2) Ct’(a)=1/p(a)
第一种方法提出了一个像S(e,b)=1-p(e,b)这样的定义，或者更好地表达为
(3) S(e,b)=(1-p(e,b))/(1+p(e,b))
就是说，它建议我们用Ct度量检验的严格性，或者更好地用“正规化的”Ct(利用1/(1+p(e,b))作为一个正规化因子)来度量它。第二种方法提议我们只要用检验的内容Ct’，来度量它的严格性：
(4) S’(e,b)=Ct’(a,b)=1/p(e,b)。
现在我们来推广这些定义，为此我们放宽e应逻辑地从h和b推出这个要求，甚或放宽下列更弱的要求：
p(e，hb)=1就是说我们现在假定存在某种概率，p(e,hb)，它可能等于1，也可能不等于1。
这意味着，为了得到(3)和(4)的一个推广，我们在这两个公式中都用更一般的项“p(e,hb)”代替“1”。因此，我们得出了下面两个解释为理论h的支持证据的(对于给定的背景知识b)检验e的严格性的推广定义。
(5) S(e,h,b)=(p(e,hb)-p(e,b))/(p(e,hb)+P(e,b))；
(6) S’(e,h,b)=p(e,hb)/P(e,b)。
这些就是我们对作为支持证据的检验的严格性的度量。这两种度量之间没有选择余地，因为从一种到另一种的转移是保序的[8]；就是说，两者都是拓扑不变的。(如果我们用Ct’和S’的对数[9]例如log2Ct”和log2S’代替Ct’和S’——以使这些度量成为加性的，情形同样如此。)
在定义了我们的检验的严格性的度量后，现在我们可以用同样的方法来定义理论h在b出现的条件下关于e的解释力E(h,e,b)(而且如果我们愿意的话，也可以类似方式定义h的确证度[10])：
(7) E(h,e,b)=S(e,h,b)；
(8) E’(h,e,b)=S’(e,h,b)。
这些定义表明，对理论h的一次检验e越严格，理论h(关于某个被解释者e)的解释力就越大。
现在显而易见，一个理论的解释力的最大程度或者它的检验的严格性的最大程度乃取决于该理论的(信息的或经验的)内容。
因此，知识的进步或潜在增长的标准将是我们理论的信息内容或经验内容的增加；同时，是它们可检验性的增加，也是它们有关(已知的和未知的)现象的解释力的增加。
3．逼真性
这一节将进一步讨论和发展第十章第x和xi节的思想(这里假定读者已经读过它们)。
在塔尔斯基的真理理论中，“真理”是陈述的一个性质。我们可以用“T”标示某种人工的语言(对象语言；参见下面第5节)的所有真陈述的类。我们可以用
a∈T
表达(某种元语言的)断定：陈述a是真陈述类的一个成员，换句话说，a是真的。
我们在这里的首要任务是定义一个陈述。的真内容的观念，我们用“CtT(a)”标示它。这定义必须使得一个假陈述和一个真陈述都有真内容。
如果a是真的，那么a的真内容CtT(a)(或更确切地说，它的度量)将仅仅是。的内容的度量；也即
(1) a ∈
T—> CtT(a)=Ct(a)式中我们可以像第2节的(1)一样，建立
(2) Ct(a)=1-p(a)。
假如a是假的，则正如已经提到过的那样，它仍然可以有真内容。因为，假定今天是星期一，那么陈述“今天是星期二”将是假的。但是，这个假陈述将蕴含一些真陈述，例如“今天不是星期三”或“今天或者是星期一或者是星期二”；它所蕴含的所有真陈述的类将是它的(逻辑的)真内容。换句话说，每个假陈述都蕴含一个真陈述类这个事实是把一个真内容赋予每个假陈述的基础。
所以，我们将把陈述a的(逻辑的)真内容定义为既属于G的(逻辑的)内容又属于T的那些陈述的类；因而我们也解释了它的真内容的度量CtT(a)。
为了在理论Ct或p(这里Ct(a)=1-p(a))的内部给CtT(a)观念下定义，我们可以应用各种方法。
最简单的方法或许是同意，在像p(a)或p(a,b)这样的表达式内，字母“a”、“b”等等不仅可以是陈述的名字(因而也是，例如，有限个陈述的合取的名字)，而且也可以是陈述的类的名称(或者属于这些类的所有陈述的有限或无限的合取的名字)，因此，我们也就同意用符号“t”[11](在像p(t)、P(a,t)或P(t,b)这样的语境之中)代替“T”，并把它看作是所考虑的语言系统(或陈述系统)的一切真陈述的(有限或无限的)合取。换句话说，我们把符号“t”用作变项“a”、“b”等等可能取的常值之一，并且同意以下述方式使用它：
(3) t的推论类或逻辑内容是T。
然后我们定义一个新符号“aT”如下：
(4) aT「”标示“蕴含”即“从……推出……”」
(5) a 「aT从而还得出
(6) p(aaT)=p(a)，
(7) p(a,aT)p(aT)=p(aaT)=p(a)。我们还得出
(8) aT「x，当且仅当a「x&x
∈
T，式中“a「b”还是读做“b可从a推出(或者由a蕴含)”。因此，(8)的意思是：aT是a所蕴含的逻辑上最强的真陈述(或演绎系统)。因此，我们现在可以把a的真内容定义为aT的真内容，而它的度量CtT(a)现在可以定义如下：
(9) CtT(a)=Ct(aT)=1-p(aT)
从(9)和(5)得出
(10) CtT(a)≤Ct(a)和
(11) 如果a
∈T，那么aTT(a)=Ct(a)
为了定义“Vs(a)”——即a的逼真性(的度量)——我们不仅需要a的真内容，而且还需要它的假内容——或者它的度量——因为我们希望把vs(a)定义为a的真内容和假内容之差异这类东西。但是，a的假内容或它的某种替代物的定义不是很简单的，因为存在这样的基本事实：了可以说是构成了一个推论类或内容(t的内容，参见上面的(3))，而我们系统的所有假陈述的类F却不是推论类。因为，虽则T包含T的一切逻辑推论——因为任何真东西的逻辑推论必定也是真的——但F并不包含所有它的逻辑推论：从一个真陈述只能推出真陈述，而从一个假陈述不仅能推出假陈述，而且也总能推出真陈述。
因此，按类似于“真内容”的方式来定义“假内容”，看来是行不通的。
为了得出a的假内容的度量CtF
(a)的一个令人满意的定义，规定一些必需的定理是有益的：
(i) a ∈T—>CtF(a)=0
(ii) a∈F—>CtF(a)≤Ct(a)
(iii) 0≤CtF(a)≤Ct(a)≤1
(iv) CtF(contrad)=Ct(contrad)=1
式中“contrad"是自相矛盾的陈述的名字。所需要的定理(iv)应该和定理
CtT(tautol)=Ct(tautol)=0
加以比较和对照。式中“tautol"是一个重言陈述的名字。
(v) CtT(a)=0—>CtF(a)=Ct(a)
(vi) CtF(a)=0—>CtT(a)=Ct(a)
(vii) CtT(a)+CtF(a)≥Ct(a)(如果取“a”为，例如“contrad"，则可看出这里用“≥”而不是“=”的理由；因为在这种情况下，我们根据(iv)和CtT(a)=Ct(t)得到CtF(a)=Ct(a)=1，但是，Ct(t)是最大真内容，它通常区别于零。在一个无限域里，Ct(t)=1-p(t)通常将等于1。)
(Viii) CtF和CtT在下述意义上关于Ct是对称的：存在两种函数，f1和f2，以致
(a) CtT(a)+CtF(a)=Ct(a)+f1(CtT
(a)，CtF(a)) =Ct(a)+f1(CtF (a)，CtT
(a))
就是说，f1关于CtT和CtF是对称的；因此，结果我们便得到
(b)
CtT (a)=f2(Ct(a)，CtF(a))
(c) CtF(a)=f2(Ct(a)，CtT
(a))。
在按这些方式定义“CtF
(a)”的各种可能性中，以下定义是可取的，这里就采用这个定义：(12)
CtF (a)=1-p(a,aT)=Ct(a, aT)这个定义满足我们的需要。对于所要求的定理(i)和(ii)来说，这是显而易见的；如果我们考虑以下定理，那么这对于其他所要求的定理来说，也变得很清楚：
(13) CtF
(a)p(aT)=p(aT)-(p(a, aT)p(aT))
=p(aT)-p(a)
参见(7)
T (a)
因此
(14) CtT
(a)=Ct(a)-( CtF (a)p(aT))≤Ct(a)。
(15) CtF
(a)=(Ct(a)- CtT (a))/P(aT)=(Ct(a)- CtT
(a))/(1- CtT (a))